Рашит Акбашев родился 29 мая 1933 года в деревне Адзитарово Кармаскалинского района Башкирской АССР в семье крестьянина. В 1950 году, окончив Бузовьязовскую среднюю школу, поступил в Башкирский государственный медицинский университет, который окончил в 1957 году. В 1954–1956 годах учился на военно-медицинском факультете Куйбышевского медицинского института. В 1956 году был назначен заведующим Тряпинской врачебной амбулатории (БАССР).
Затем, начиная с 1962 и до 1994 года, более 32 лет подряд, возглавлял санаторий «Янган-Тау» в должности главного врача здравницы. Именно при нем санаторий начал строиться и стал уникальной всероссийской здравницей, по сей день ежегодно получающей высшие награды на всероссийских конкурсах.
Рашит Акбашев был и выдающимся медицинским деятелем, и инициатором внедрения новых видов процедур, организатором строительства лечебных корпусов и объектов санатория, обустройства его территории. Под его руководством в 1965 году на горе Янгантау началось строительство типового санатория на основании разработанного Ленинградским филиалом проектного института Минздрава РСФСР проекта. Его вели крупные строительные организации республики («Востокнефтепроводстрой», «Башсельстрой», «Башнефтезаводстрой», Минтрансстрой СССР). Были построены пять первых спальных корпусов, две столовые, газопровод Аркаул — Янгантау. В 1989 году было открыто отделение «Матери и ребенка» на 100 коек для лечения детей.
За выдающийся вклад в развитие санаторно-курортной системы республики в 1967 году Рашиту Акбашеву было присвоено звание «Заслуженный врач Башкирской АССР». В 1975 году Рашит Шагабутдинович защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата медицинских наук. За годы своей жизни он выпустил монографии «Лечебные факторы курорта Янгантау» (1973), «Домашний лечебник» (1997), четыре научно-популярные книги о курорте «Янгантау», опубликовал более 100 научных трудов. Он внес большой вклад и в пропаганду здравницы, став автором сценария научно-популярного фильма «Янгантау», премьера которого состоялась на Центральном телевидении страны в 1973 году.
В 1987 году санаторий «Янган-Тау» был признан лучшим в СССР. Одновременно с созданием лечебной базы в санатории за годы руководства Акбашевым были построены благоустроенные жилые дома на 250 квартир для сотрудников, средняя школа, ясли-сад, предприятия торговли и бытового обслуживания.
В 1992-1995 годах для привлечения средств с целью дальнейшего развития санатория «Янган-Тау» было образовано ЗАО «Теплая гора», куда вошли крупнейшие промышленные предприятия и банки Республики Башкортостан. Рашит Шагабутдинович Акбашев был избран исполнительным директором этой структуры. Благодаря новым открывшимся возможностям за короткий срок – всего за один год – в Янгантау построена и введена в эксплуатацию новая современная паровая лечебница.
В 1983 году на VIII съезде Всесоюзного общества курортологов и физиотерапевтов Рашит Акбашев избран членом Правления общества. С 1982 по 1994 годы он являлся также членом Центрального совета по управлению курортов профсоюзов. В 1990 году был избран народным депутатом РСФСР и внес немалый вклад в развитие здравоохранения страны также и в этом качестве.
Рашиту Акбашеву присвоены почетные звания «Заслуженный врач Российской Федерации», «Отличник здравоохранения», «Отличник курортов профсоюзов СССР». Он награждён Орденом «Знак почета», медалями «За трудовую доблесть», «За доблестный труд», «Ветеран труда», «За заслуги в развитии курортов России» и другими наградами.
Рашиту Акбашеву в 2012 году было присвоено звание «Почетный гражданин Салаватского района Республики Башкортостан». С 2013 года Рашит Шагабутдинович возглавлял Совет ветеранов санатория «Янган-Тау» и на этом посту активно продолжал общественную деятельность до последних дней. Вплоть до последних дней он оставался верным своему детищу, санаторию, в музее которого есть стенд, посвященный его деятельности.
